Pythagoras (ca. 580-500 voor Chr.) legde de basis voor ons toonsysteem. Hij gebruikte een monochord om het verband tussen snaarlengte en toonhoogte vast te leggen.
Deel je de snaarlengte door 2 dan klinkt de snaar een oktaaf hoger en de snaar trilt tweemaal zo snel. Deel je hem door 3 dan hoor je een toon die een oktaaf plus een kwint hoger ligt en de snaar trilt dan 3 keer zo snel. Omgekeerd evenredig dus. Om alleen maar een kwint hoger te gaan (dus niet oktaaf plus kwint) geldt dus: snaarlengte x 2/3, frequentie x3/2.
We gaan verder. Snaarlengte delen door 4: het dubbeloktaaf, frequentie x4. Er ontstaat eigenlijk geen nieuwe toon, je vermenigvuldigt twee keer met 2, dus je krijgt oktaaf plus oktaaf.
Snaarlengte delen door 5? Nu is er wel een nieuwe toon: twee oktaven plus een grote terts. Deze nieuwe toon gebruikte Pythagoras niet in zijn systeem. Nee, hij bepaalde de intervallen binnen het oktaaf door alleen maar gebruik te maken van de getallen 2 en 3.
Hij dacht vanuit de μέσος (mesos = middelste toon) ging van daaruit een kwint hoger. Door vanuit die kwint een oktaaf lager te gaan (snaarlengte x2 en dus frequentie x1/2) kwam hij een kwart onder de uitgangstoon uit. Dus de snaarlengte van de 'mesos' ging daarmee x4/3 en de frequentie x3/4. Door twee kwinten hoger en een oktaaf lager te gaan ontstaat de verhouding van de hele toonsafstand: 9/8. Daarmee kan het hele oktaaf worden opgebouwd. Dus vanuit het midden opgebouwd, vanuit de toon die bij ons nu a' is, komt Pythagoras tot de volgende tabel:
| e | f | g | a' | b' | c' | d' | e' | |
| snaarlengte | 4/3 | 81/64 | 9/8 | 1 | 8/9 | 27/32 | 3/4 | 2/3 |
| frequentie- verhouding |
3/4 | 64/81 | 8/9 | 1 | 9/8 | 32/27 | 4/3 | 3/2 |
Zie verder hierover: stemmingen.
We hebben dus nu de snaarlengte in 2, 3, 4 en 5 gelijke delen verdeeld. Bij 2, 3 en 5 ontstaat een nieuwe toon (oktaaf, kwint, terts). Bij 4 eigenlijk niet (dubbeloktaaf). Bij 6 ook niet, want gedeeld door 6 kan je opvatten als gedeeld door 2 en daarna gedeeld door 3. Dan kom je dus weer uit bij de kwint (twee oktaven hoger). De 7 geeft wel een nieuwe toon (de septiem), de 8 niet (3 oktaven). De priemgetallen 5 en 7 geven dus een nieuwe toon omdat ze niet opgebouwd zijn uit andere factoren dan zichzelf en 1. Een puur theoretisch uitstapje zonder veel praktische betekenis, want delen door 5 levert al problemen op voor ons muzieksysteem, laat staan delen door 7 of 11. Pythagoras hield het niet voor niets bij de getallen 2 en 3. Zijn grote terts heeft een verhouding van 81/64, terwijl de 'reine' grote terts een verhouding van 5/4 heeft, oftewel 80/64. Het "verschil" (81/80 in verhouding) wordt wel het didymisch komma of ook wel het syntonisch komma genoemd.
Een snaar kan op verschillende manieren trillen. Als je een snaar tokkelt zie je dit.
Als je de snaar precies op de helft dempt terwijl je tokkelt (je maakt dan een zg. 'knoop' in de trilling) dan gaat de snaar zo trillen. Zoals gezegd: dan hoor je het oktaaf.
Als je de snaar op 1/3 dempt dan maakt de snaar zelf de andere 'knoop' en trilt hij dus zo en je hoort de kwint boven op het oktaaf.
Maar in de praktijk gaat het anders. Wanneer je een snaar tokkelt dan wordt het een combinatie van de trillingen die hierboven zijn beschreven. De klank die je hoort is opgebouwd uit de grondtoon en zijn boventonen. De trilling is dus nogal ingewikkeld.
Dit alles betekent dat wanneer een snaar klinkt, je altijd ook de boventonen hoort, de reine intervallen terts, kwint en oktaaf en hoger. Die boventonen bepalen de 'kleur' van de toon. De nadruk op hoge boventonen geeft een scherpe toon (gitarist tokkelt bij de kam, aan het uiteinde), hebben de lagere boventonen de overhand dan is de toon ronder, donkerder (gitarist speelt meer midden op de snaar).
terug Vragen of opmerkingen?
