Wanneer je een wiskundige vraagt waar wiskunde het mooist in de natuur en in de kunst tot uiting komt is het antwoord steevast: de reeks van Fibonacci en de Gulden Snede.

Even kort over de Fibonaccireeks:
de getallen 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, enz. waarbij telkens de laatste twee getallen opgeteld het nieuwe getal in de rij geven. De verhouding tussen het laatste en het één na laatste getal benadert steeds beter de verhouding van de Gulden Snede ($\varphi$ = 1,618 afgerond; zie grafiek van de benadering). ($\varphi$ =  $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ zie achtergronden.) 

Allereerst de natuur. Het is opmerkeljik hoe vaak de getallen van de Fibonaccireeks in de natuur voorkomen. Kijk je naar het zadenpatroon van de zonnebloem dan ontdek je links- en rechtsomdraaiende spiralen. Zou je het aantal spiralen tellen dan kom je telkens uit op Fibonaccigetallen. En dat geldt voor allerlei planten:

artisjok01  bloem01  zonnebloem01

coneflower01  ZAfrika plant  romanesco01

De achtergrond van deze verdeling is de efficiënte vlakverdeling van de natuur. De bladen en zaden zijn zo verdeeld dat er een maximale hoeveelheid licht en water op kan vallen.
Zonder diep op de wiskundige achtergrond in te gaan kan je er wel iets van snappen hoe de natuur dat evolutionair voor elkaar heeft gekregen. Kijk naar rechthoeken die afmetingen hebben van Fibonaccigetallen:

rechthoekenspiraal wit01

De rechthoeken groeien in afmeting en vullen de ruimte compact op. De nieuwe rechthoek wordt telkens tegen de vorige aangelegd zodat hij goed past. Daardoor ontstaat een draaiende beweging. Die kan je nog duidelijker maken door in elk vierkant een kwart cirkel te tekenen zodat de spiraal zichtbaar wordt:

 rechthoekenspiraal wit03

Zoals gezegd: op den duur krijgt de grote rechthoek de verhouding van de Gulden Snede.

rechthoekGS  

Deze rechthoek heeft de eigenschap dat de verhouding van de breedte en de lengte dezelfde is als de verhouding tussen de lengte en opgeteld de breedte en de lengte.
In letters: B/A=(A+B)/B. Hoe je dan $\varphi$ berekent: zie achtergronden.

Diezelfde eigenschap zit ook in het pentagram:

 pentagoon01   pentagoon02

Ook hier duikt $\varphi$ op: A/B = (C+D)/D = D/C = $\varphi$.  Voor de berekening: zie achtergronden.

De regelmatige vijfpuntige ster heeft altijd tot de verbeelding gesproken. Door de mooie wiskundige eigenschappen zijn in de loop der tijden allerlei krachten (positief en negatief) aan het pentagram verbonden. Dat begon al met de volgelingen van Pythagoras. Maar ook de Katharen (12e/13e eeuw) gebruikten het symbool. En ook in onze tijd wordt hij veel gebruikt: of je nu de sterretjes van de vlaggen van de EU of de VS neemt, of het symbool van de vrijmetselarij of de vlag van Maastricht, overal wordt het pentagram gebruikt.

 

de Spaanse grafisch vormgever Cristóbal Vila maakte een mooi filmpje over de getallen van Fibonacci, hoewel ook hij beelden opneemt van de Nautilusschelp (dat is een voorbeeld van exponentiële groei, niet van de getallen van Fibonacci, zie ook voorbeelden Gulden Snede? en logaritmen):

 

 

terug                                                                                                                                    Vragen of opmerkingen? Dit e-mailadres wordt beveiligd tegen spambots. JavaScript dient ingeschakeld te zijn om het te bekijken.

naar boven