De cent

In de muziek is met de evenredigzwevende stemming het oktaaf netjes verdeeld in 12 gelijke stukjes. Maar om van een toon een interval hoger te gaan moet je de frequentie vermenigvuldigen, niet optellen. Voorbeeld: voor elke toon geldt: kwint hoger, dan $\times \frac{3}{2}$. En dus ook: telkens vermenigvuldigen met hetzelfde getal ($2^{\frac{1}{12}}$) (=$\sqrt[12]{2}$) om een halve toon hoger te gaan, wat de frequentie ook is. Dat vraagt om een eenheid van vermenigvuldigen, en die is er dan ook: de cent.
1 cent = $2^{\frac{1}{1200}}$. Dus verhogen met 100 cents betekent 100 keer vermenigvuldigen met $2^{\frac{1}{1200}}$. In formule:

$b=a\times 2^{\frac{n}{1200}}$  waarbij $b$ en $a$ de frequenties zijn van de tonen van een interval en $n$ het aantal cents.

Om het aantal cents van een interval te berekenen krijg je dus: $n=1200\times{ }^{2}\log \frac{b}{a}$  

Hiermee heb je bereikt dat je bij intervallen lineair kan denken i.p.v. exponentieel en dat je over verschillen in toonhoogten kan praten onafhankelijk van de frequentie.

De gitaarhals

De exponentiële functie in frequenties zie je ook terug in de bouw van instrumenten. De afstanden van de fretten op de gitaarhals zijn ook logaritmisch. In deze grafiek ben ik uitgegaan van snaarlengte 100. Je ziet een snaarlengte 50 een oktaaf hoger en daartussenin een logaritmische (of zo je wilt exponentiële) kromme.

De Nautilusschelp  NautilusCutawayLogarithmicSpiral 

De spiraal van de Nautilusschelp is niet gebaseerd op Fibonaccigetallen maar is logaritmisch. Het principe dat aangroei evenredig is met de reeds aanwezige afmeting veroorzaakt deze soort groei en vindt men terug in veel biologische systemen. Voor de wiskundige uitleg van de exponentiële/logaritmische groei in de biologie is dit artikel verhelderend. Daarin wordt duidelijk gemaakt dat elke aangroeiïng gelijkvormig is met de vorige, de basis van de exponentiële groei. 
Het mooie filmpje van Cristóbal Vila in Fibonacci en de Gulden Snede bevat deze schelp ook, maar dat is dus onterecht.

 

terug                                                                                                                                   Vragen of opmerkingen? Dit e-mailadres wordt beveiligd tegen spambots. JavaScript dient ingeschakeld te zijn om het te bekijken.

 

naar boven