rechthoekGS

Voor de eigenschappen van een rechthoek met verhouding van de Gulden Snede geldt: B/A = (A+B)/B.
Neem nu A = 1. We zoeken dus een lengte B met bovenstaande eigenschap. Dan geldt:

B = (1 + B)/B

B2 = B + 1

B2 - B -1 = 0

Een eenvoudige vierkantsvergelijking met als oplossing B =  $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  (De andere oplossing is negatief en heeft hier dus geen betekenis.)

 

Nu het pentagram.

          pentagoon03                           pentagoon04

Neem de zijde van de regelmatige vijfhoek gelijk aan 1. Met eenvoudige meetkunde (symmetrie├źn, parallellogrammen) is in te zien dat ook B = 1, C + E = 1 en C + D = 1. De lengte van diagonaal A = D + C + E. Dus D = A -1

Er geldt A/B = (C + D)/D. Het volledig uitgeschreven bewijs hiervoor geef ik hier niet1), maar de achtergrond is de gelijkvormigheid van de driehoeken STR en PQR (rechtertekening).

dus: A/1 = 1/(A - 1)

A(A - 1) = 1

A2 - A - 1 = 0, en dat is dezelfde vierkantsvergelijking als hierboven.


1) zie voor bewijzen en interessante achtergronden het boekje van Wim Kleijne en Ton Konings in de Zebra-reeks "De Gulden Snede"  ISBN 90-5041-058-8

 

 

 terug                                                                                                                                    Vragen of opmerkingen? Dit e-mailadres wordt beveiligd tegen spambots. JavaScript dient ingeschakeld te zijn om het te bekijken.

naar boven