Voor de eigenschappen van een rechthoek met verhouding van de Gulden Snede geldt: B/A = (A+B)/B.
Neem nu A = 1. We zoeken dus een lengte B met bovenstaande eigenschap. Dan geldt:
B = (1 + B)/B
B2 = B + 1
B2 - B -1 = 0
Een eenvoudige vierkantsvergelijking met als oplossing B = \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (De andere oplossing is negatief en heeft hier dus geen betekenis.)
Nu het pentagram.
Neem de zijde van de regelmatige vijfhoek gelijk aan 1. Met eenvoudige meetkunde (symmetrieën, parallellogrammen) is in te zien dat ook B = 1, C + E = 1 en C + D = 1. De lengte van diagonaal A = D + C + E. Dus D = A -1
Er geldt A/B = (C + D)/D. Het volledig uitgeschreven bewijs hiervoor geef ik hier niet1), maar de achtergrond is de gelijkvormigheid van de driehoeken STR en PQR (rechtertekening).
dus: A/1 = 1/(A - 1)
A(A - 1) = 1
A2 - A - 1 = 0, en dat is dezelfde vierkantsvergelijking als hierboven.
1) zie voor bewijzen en interessante achtergronden het boekje van Wim Kleijne en Ton Konings in de Zebra-reeks "De Gulden Snede" ISBN 90-5041-058-8
terug Vragen of opmerkingen?
